Cálculo integral: Introducción al cálculo integral

La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x.

Estamos de acuerdo con la siguiente notación:

$\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm dx$

Es la integral definida de la función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales.

El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

Aspecto geométrico

Para hacer la integral de manera sistemática "de vuelta al espacio", que es abordado por las llamadas sumas superior e inferior de rectángulos cada vez más precisos.

segun integral de Riemann
por exceso

Las áreas de los rectángulos ahora se pueden calcular fácilmente, así que tenemos un límite superior y un límite inferior para la zona.

$\int_0^1 x^2\mathrm dx$	$>R_1\,$	$+R_2\,$	$+R_3\,$	$+R_4\,$
	$=\frac14\cdot0^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2,\qquad\text{donde cada rectangulo }\tfrac14\text{ largo y tan alto}$
	$= 0{,}21875\,$

Analógamente la suma superior calculada:

$\int_0^1 x^2\mathrm dx$	$<R_1\,$	$+R_2\,$	$+R_3\,$	$+R_4\,$
	$+\frac14\cdot\left(\frac14\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac24\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac34\right)^2$	$+\frac14\cdot\left(\frac44\right)^2$
	$= 0{,}46875\,$

Entonces vale:

$0{,}21875<\int_0^1 x^2\mathrm dx< 0{,}46875$

Para un enfoque general

Aqui se tiene para la n-esima suma por defecto $U_n$ :

$U_n=\frac1n\cdot0^2+\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac{n-1}n\right)^2$

y la n-esima suma por exceso $O_n$ :

$O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2$

Y para sacar el valor exacto de la Integral, definimos formalmente

$\int_1^2x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}U_n=\lim_{n\to\infty}O_n$

que en el caso es la igual.

Primero sacamos por la suma por exceso:

$\left.O_n=\frac1n\cdot\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\frac1n\cdot\left(\frac3n\right)^2+\cdots+\frac1n\cdot\left(\frac nn\right)^2\qquad \right|\text{ factorizamos por }\tfrac1n\text{, quadriere die }\mathrm{Br\ddot uche}$

$=\left.\frac1n\left[\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\frac{3^2}{n^2}+\cdots\frac{n^2}{n^2}\right]\qquad\qquad\qquad \right|\text{ resolvemos }\tfrac1{n^2}\text{ las potencias}$